Zentrische Streckung

Die zentrische Streckung ist eine Möglichkeit geometrische Figuren abzubilden und dabei zu vergrößern oder zu verkleiner, wobei die Figuren dann ähnlich zueinander sind, also sie haben dieselbe Form (alle Winkel sind gleich und die Seitenverhältnisse ebenfalls). 

Beispiel für die zentrische Streckung

Hier seht ihr eine zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum ZEine zentrische Streckung funktioniert dann so, dass die Strecke zwischen einem Eckpunkt der Figur, z.B. A, und den Streckungszentrum um einen bestimmten Faktor vergrößert wird. Also zum Beispiel wird diese Strecke mal 2 genommen (wie im Beispiel). Dann werden alle Strecken zwischen den Eckpunkten der Figur und dem Streckungszentrum mal 2 genommen und so verlängert. So entsteht dann die neue Figur, die ähnlich zur alten ist. 


Mathematisch geschrieben sieht es so aus:

Formel für die zentrische Streckung

Es bedeutet einfach, dass die Strecke zwischen Z und A doppelt so groß wird und das ist dann die Strecke zwischen Z und dem neuen Punkt A´. Das macht man dann mit allen Punkten des Dreiecks und erhält so das neue zentrisch gestreckte Dreieck A´B´C´ (oben in grün eingezeichnet).

Beispiel

Hier könnt ihr mal die zentrische Streckung ausprobieren. Die Zahl am Schieberegler ist der Streckungsfaktor. Ihr könnt diesen Verschieben und gucken, wie die blaue Figur auf die grüne zentrisch gestreckt wird. Das rote Z ist das Streckungszentrum.


Der Streckungsfaktor

Der Streckungsfaktor wird meist mit einem kleinen Buchstaben abgekürzt, jedoch von jedem anders, manche nennen ihn m und andere k. Wir nennen ihn mal k, aber wenn ihr ihn anders nennt, ist es egal, macht es so, wie es euer Lehrer euch beigebracht hat. 

Was ist wenn der Streckungsfaktor...:

  • größer als 1 ist? -> Dann wird die Figur vergrößert 
  • kleiner als 1 (aber größer als -1) ist? -> Dann wird die Figur verkleinert
  • genau 1 ist? -> Dann ist die Figur identisch mit der ursprünglichen 
  • kleiner als 0 ist? -> Dann ist die Figur auf der anderen Seite des Streckungsfaktors (ist also spiegelverkehrt)

Streckungsfaktor bestimmen

Um den Streckungsfaktor zu bestimmen, teilt ihr die Länge von der gestreckten Strecke, also zum Beispiel von Z zu A´, durch die ursprüngliche Länge, also z.B. von Z zu A. Das, was dann dabei rauskommt, ist der Streckungsfaktor. 

 

Beispiel

Die gestreckte Strecke zwischen Z und A´ ist 4cm lang. Die ursprüngliche Strecke zwischen Z und A ist 2 cm lang. Wie groß ist der Streckungsfaktor?

 

Lösung:

Der Streckungsfaktor ist 4cm : 2cm=2. Also ist k=2. 

Streckungszentrum bestimmen

Müsst ihr das Streckungszentrum bestimmen, müsst ihr nur durch den ursprünglichen Punkt und dem Punkt, auf welchen dieser gestreckt wurde, eine Gerade zeichnen (z.B. durch A und A´). Dies macht ihr dann mit allen Punkten und dort, wo sich dann alle Geraden schneiden, ist dann das Streckungszentrum (guckt oben im Beispiel). 

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