Lineare Funktionen

Eine lineare Funktion ist eine Funktion mit konstanter Steigung der Form:

 

f(x)=mx+t

 

  • Dabei gibt m die Steigung an
    • je größer m ist, desto steiler steigt/fällt die Funktion
    • ist m positiv, steigt die Funktion
    • ist m negativ, fällt die Funktion
  • t den y-Achsenabschnitt. (also den Schnittpunkt mit der y-Achse)

Beispiele

y=x+1

y=3x

y=-x+2


Nullstellen

Die Erklärung wie man Nullstellen genau berechnet, findet ihr HIER.

Hier könnt ihr aber eure Aufgaben überprüfen mit dem Nullstellenrechner (falls nicht angezeigt liegt es evtl. am AdBlocker):



Liegt ein Punkt auf einer Geraden?

Wenn ihr wissen wollt, ob ein Punkt auf der Geraden liegt, setzt ihr einfach die Koordinaten des Punktes in die Gleichung ein, wenn die Gleichung dann stimmt (also wenn links und rechts dieselbe Zahl rauskommt), liegt der Punkt auf der Geraden, wenn nicht liegt er daneben.

 

Beispiel:

Gegeben ist der Punkt P(1I3) und die Funktion f: y=x+2

  • Man setzt den Punkt in die Gleichung ein: 3=1+2
  • -> Der Punkt liegt auf der Geraden, da die Gleichung aufgeht 3=3.

Übungsaufgaben:

Liegt der Punkt P(3|4) auf der Geraden f(x)=x+1? Einblenden
Liegt der Punkt A(4|1) auf der Geraden f(x)=4x-1? Einblenden

Wie berechne ich die Steigung?

Die Steigung kann man auf verschiedene Arten lösen, je nachdem was gegeben ist:

 

1. Zwei Punkte sind gegeben:

Wenn man zwei Punkte (nennen wir sie mal P1(x1Iy1) und P2(x2Iy2)) gegeben hat, kann man die Steigung folgendermaßen berechnen:

2. Der Graph ist gegeben:

Wenn der Graph gegeben ist, sucht man sich einfach zwei Punkte und dann macht man es wie bei 1.. Oder man macht es mit dem Steigungsdreieck.

 

3. Steigungswinkel ist gegeben:

Wenn der Steigungswinkel des Graphen gegeben ist, lässt sich diese berechen durch:

 

m=tan α

Übungsaufgaben

Eine Gerade geht durch die Punkte A(1|1) und B(2|2). Wie groß ist die Steigung? Einblenden
Eine Gerade geht durch die Punkte A(0|1) und B(1|3). Wie groß ist die Steigung? Einblenden



Wie ermittel ich die Funktionsgleichung?

  1. Zunächst ermittelt ihr die Steigung, das geht mit den oben beschriebenen Methoden.
  2. Wenn ihr die Steigung habt, setzt ihr einen Punkt, den ihr kennt und wisst, dass er auf dem Graphen liegt, in die Gleichung y=mx+t ein.
  3. Ihr kennt dann ja y, m und x, dann müsst ihr nur noch nach t auflösen, dann habt ihr t.
  4. Danach setzt ihr nur noch in die Gleichung m und t ein und ihr habt die Funktionsgleichung.
  • Ihr habt beispielsweiße diese beiden Punkte gegeben und möchtet die Funktionsgeichung wissen.

  • Berechnet dann zunächst die Steigung, wie im Punkt darüber beschrieben.

  • Danach setzt ihr einen Punkt und die Steigung in die Formel für eine Gerade ein und formt nach dem t um. Wenn ihr dann das t habt, setzt ihr die Steigung und t in die Geradengleichung ein und ihr seid fertig.

Übungsaufgaben

Eine Gerade geht durch die Punkte A(0|1) und B(1|3). Was ist ihre Funktionsgleichung? Einblenden
Eine Gerade geht durch die Punkte A(1|1) und B(2|2). Was ist ihre Funktionsgleichung? Einblenden

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