Quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung ist dafür da, eine Gleichung mit einem quadratischen Bestandteil umzuformen. Beispielsweise, wenn man eine quadratische Gleichung von der gewöhnlichen, in die Scheitelpunktform umformen.

 

Quadratische Ergänzung Schritt für Schritt:

  1. Klammert die Zahl vor dem x2 von x2 und x aus
  2. Bestimmt die Hälfte der Zahl vor dem x
  3. Quadriert sie
  4. Addiert die Zahl in die Klammer hinten dran und subtrahiert sie gleich wieder
  5. Wendet die binomische Formel in der Klammer an
  6. Multipliziert die Klammer wieder aus

 

Schritt für Schritt

Angabe für ein Beispiel der quadratischen Ergänzung

Ihr möchtet beispielsweise diese Gleichung quadratisch ergänzen, um die Scheitelpunktform zu erhalten:


Erklärung der quadratischen Ergänzung mit farbigen Markierungen

Klammert erst die 2, also die Zahl vor dem x2, von x2 und x aus. Dazu lässt ihr die Zahl vor dem  x2 weg und teilt die Zahl vor dem x durch 2. Wie man richtig ausklammert, könnt ihr HIER noch mal durchlesen.


Zwischenschritt zur Berechnung der quadratischen Ergänzung

Das Ergebnis sieht dann so aus.


Schritt der quadratischen Ergänzung in welchem die Voraussetzung einer binomischen Formel geschaffen wird

Nun addiert und subtrahiert ihr die quadrierte Hälfte von der Zahl vor dem x (die Hälfte von 2 ist 1).


Anwenden der binomischen Formel bei der quadratischen Ergänzung

Wie ihr seht, habt ihr dann einen Teil, den ihr mit der binomischen Formel umwandeln könnt, also macht dies dann auch.


Lösung nach Anwendung der binomischen Formel bei der quadratischen Ergänzung

Wenn ihr dies gemacht habt, sieht es dann so aus.


Ausmultiplizieren der Klammer um die quadratische Ergänzung zu vervollständigen

Nun müsst ihr die große Klammer nur noch auflösen, indem ihr ausmultipliziert. Dazu multipliziert ihr die Zahl vor der Klammer mit den beiden Teilen drinnen, also der binomischen Formel und der einen quadrierten Zahl, die ihr noch habt.


Lösung des Beispiels zur quadratischen Ergänzung

Das Ergebnis sieht dann so aus. Nun könnt ihr die hinteren beiden Zahlen nur noch addieren und ihr seid fertig.


Beispiele

Hier par Aufgaben zur quadratischen Ergänzung. Klickt auf einblenden, um eine Lösung mit Zwischenschritten zu erhalten.

y=3x2+6x+3 Einblenden
y=4x2+4x+4 Einblenden
y=2x2+8x+5 Einblenden
y=6x2+3x+4 Einblenden

Arbeitsblätter zum Thema

Übungsaufgaben zu diesem Thema findet ihr über den Button. Dort könnt ihr euch Übungsblätter downloaden oder die Aufgaben einfach von dort abschreiben. Lösungen zu den Aufgaben findet ihr dort ebenfalls:

Quadratische Ergänzung Rechner

Hier könnt ihr euch die quadratische Ergänzung berechnen lassen (falls nicht angezeigt liegt es an Adblock):

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