Stochastische Unabhängigkeit

Stochastische Unabhängigkeit bedeutet, dass ein Ereignis das nachfolgende Ereignis in seiner Wahrscheinlichkeit nicht beeinflusst. Das heißt, dass egal was vorher passiert, die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis danach bleibt gleich, zum Beispiel, wenn man eine Münze zweimal wirft, der erste Wurf verändert die Wahrscheinlichkeit vom 2. Wurf nicht, diese bleibt weiter bei 50% Kopf oder Zahl, daher ist das stochastisch unabhängig. Allgemein gilt Folgendes für stochastische Unabhängigkeit:

 

Formel zur Überprüfung der stochastischen Unabhängigkeit
Illustration von zwei roten Würfeln

 

Mit der Formel könnt ihr eine Wahrscheinlichkeit auf stochastische Unabhängigkeit überprüfen (Beispiele dazu sind unten). Wenn also die "Undwahrscheinlichkeit" gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeit ist, ist es stochastisch unabhängig.

 

Daraus folgt, wenn einer der beiden Fälle zutrifft, ist es stochastisch unabhängig (zum Thema Baumdiagramm gehts HIER):

a) Wenn folgende Gleichung stimmt:

Gleichung und Baumdiagramm zum Bestimmen der stochastischen Unabhängigkeit

b) Wenn P(B) (die Wahrscheinlichkeit, dass B eintrifft) an beiden Ästen zu Ereignis B gleich ist:

Gleichung und Baumdiagramm zum Bestimmen der stochastischen Unabhängigkeit

Beispiel stochastische Unabhängigkeit

Man wirft 2 mal eine Münze. Sind die Wahrscheinlichkeiten stochastisch unabhängig, ob beim zweiten Wurf Kopf (K) oder Zahl (Z) rauskommt?

Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten zur Veranschaulichung der stochastischen Unabhängigkeit

Wie ihr seht, ist die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf geworfen wird auf beiden Seiten gleich, deshalb ist diese Wahrscheinlichkeit stochastisch unabhängig.

Man kann es auch mit den Formeln von oben berechnen:

 

P(K∩Z)=P(K)·P(Z)

0,25=0,5·0,5 ✓


Beispiel stochastische Abhängigkeit

Man zieht aus einer Urne mit 10 Kugeln, wobei 6 rot und 4 grün sind, nacheinander 2 Kugeln. Dabei wird nach dem ersten ziehen die Kugel nicht wieder zurückgelegt. Ist die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Ziehen stochastisch abhängig, zu dem was zuerst gezogen wurde?

Baumdiagramm mit Brüchen zur Veranschaulichung der stochastischen Unabhängigkeit

Wie ihr seht, sind die Wahrscheinlichkeiten rot oder grün beim zweiten mal zu ziehen jeweils unterschiedlich, je nachdem, was davor gezogen wurde. Deshalb sind die Wahrscheinlichkeiten stochastisch abhängig. Das könnt ihr auch rechnerisch zeigen (R=rot; G=grün):

 

P(R∩G) P(R)·P(G)

0,27 ≠ 0,6·0,4


Beispiele für stochastische Unabhängigkeit:

  • Münzwurf, denn wenn man Kopf wirft, beeinflusst es nicht die Wahrscheinlichkeit beim nächsten Wurf
  • Würfeln, wenn man einmal gewürfelt hat, ändert dies ja nicht die Wahrscheinlichkeit beim nächsten Würfeln.
Zwei rote Würfel

Beispiel für stochastische Abhängigkeit:

  • Ziehen von Kugeln ohne zurücklegen, da wenn man eine herausgezogen hat sich die Wahrscheinlichkeit beim nächsten Ziehen ändert.
  • Lotto 6 aus 49, da wenn eine Zahl schon gezogen wurde, ändert sich die Wahrscheinlichkeit für die nächste Kugel.
Lottoschein und ein Stift

Übungsaufgabe

Ihr zieht 3 Kugeln aus einer Urne und legt sie nach jedem Ziehen zurück. Ist diese Wahrscheinlichkeit eine Kugel nach dem ersten Ziehen stochastisch unabhängig oder abhängig? Einblenden

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