Vollständigkeitsaxiom

Die Folgenden Aussagen sind äquavilent und mit einer Aussage lassen sich alle anderen Folgern. Auf diesen Prinzipien bzw. Axiomen beruht das Vollständigkeitsaxiom und lässt sich damit beweisen (es sagt aus das die reellen Zahlen Vollständig "ohne Lücken" sind):

  1. Supremums-Prinzip: Jede beschränkte Folge hat ein Supremum
  2. Monotonie-Prinzip: Jede beschränkte Folge enthällt eine monotone Teilfolge die auch beschränkt ist.
  3. Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß: Jede beschränkte Folge enthällt eine konvergente Teilfolge.
  4. Cauchysches Konvergenzprinzip: Jede Cauchyfolge in den reellen Zahlen ist konvergent.
  5. Intervallschachtelungsprinzip: Zu jeder Intervallschachtelung gibt es genau einen Punkt, der in allen Intervallen enthalten ist.
  6. Dedekindsches Schnitt-Axiom: Jeder Schnitt hat genau einen Trennungspunkt

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