Lokale Extrema und Mittelwertsätze

In diesem Kapitel formulieren wir erste Aussagen über das qualitative Verhalten von Funktionen. Wir beginnen mit der Charakterisierung lokaler Maxima oder Minima.

 

Satz 1:

  • Sei M ⊂ℝn offen und f : M →ℝ sei (in allen x∈M) partiell differenzierbar. Die Funktion f nehme in x0∈M ein Maximum oder Minimum an. Dann gilt ∇f(x0) = 0 (bzw. im Fall n=1:  f´(x0)=0). Also die Steigung im Extrempunkt der Funktion ist 0. Ist ja logisch, da in einem Extrempunkt die Funktion ja nicht weiter steigt oder fällt, also muss die Steigung dort 0 sein.

  • Achtung: Auf die Bedingung ”M offen” kann nicht verzichtet werden, wie das Beispiel f(x) = x auf [0,1] zeigt. Also das Intervall muss offen sein.

Bemerkung:

Man spricht von einem ”lokalen Maximum (oder Minimum)” in x0∈ M, falls es eine Umgebung U von x0 gibt, so dass f(x0) = sup{f(x)|x ∈ U} (bzw. = inf{f(x)|x ∈ U}). Der Satz von oben Charakterisiert insbesondere lokale Extrema. Wobei sup für Supremum und inf für Infimum steht, also Maximum und Minimum.

 

 

Satz 2:

  • (”Satz von Rolle”) Sei f : [a,b] → ℝ stetig und auf (a,b) differenzierbar. Falls f(a) = f(b) = c ist, so gibt es ξ ∈ (a,b) mit f´(ξ) = 0.

Beweis zu Satz 2:

  1. f ≡ c ⇒ f(x) = 0 für alle x ∈ (a,b).

  2. f   ≠ c ⇒ f hat ein von c verschiedenes Supremum oder ein von c verschiedenes Infimum. Wenn f stetig und [a,b] kompakt ist, werden Extrema angenommen und müssen in (a,b) liegen, z.B. in ξ. Also ist mit Satz 1 f(ξ) = 0

 

Satz 3:

  • Ist f ∈ C0([a,b]) differenzierbar in (a,b) und ist f´≡ 0 auf (a,b), so ist f konstant auf [a,b]. Logisch wenn die Steigung auf der ganzen länge 0 ist ist es eine konstante Funktion.

Beweis zu Satz 3:

Beweis. Seien x1≠x2 ∈ [a,b]. Dann folgt aus dem Mittelwertsatz f(x2) = f(x1) + (x2−x1)·f´(ξ) (wobei f´(ξ)=0) und damit f(x2) = f(x1)

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Aktien für Anfänger: Wie Studenten an der Börse starten können

Studenten und Aktien – passt nicht zusammen. Eine verbreitete Sichtweise, die sich unter anderem aus der Tatsache speist, dass angehende Akademiker selten mit Geld um sich schmeißen können. Aber: Für Studenten werden die Börsen zunehmend interessanter. Der Trend, dass wieder mehr Aktien gezeichnet werden – über den Beispielsweise auch das Handelsblatt berichtet – geht nicht an Studenten vorbei.

 

Damit diese Anlegergruppe von den Renditen an den Börsen profitiert, braucht es allerdings ein paar Voraussetzungen. Hierzu gehört einerseits das Wertpapierdepot. Letzteres ist unverzichtbar, um Aktien und andere Wertpapiere zu handeln. Gleichzeitig braucht es auch das nötige Know-how. Ohne Börsenwissen werden beim Trading Fehler gemacht, die teuer werden.

Abbildung 1: Wenn Studenten in Aktien investieren möchten, sollten sie vorher einiges bedenken. Mit der richtigen Strategie und dem passenden Aktiendepot lassen sich hier jedoch durchaus Erfolge feiern.
Abbildung 1: Wenn Studenten in Aktien investieren möchten, sollten sie vorher einiges bedenken. Mit der richtigen Strategie und dem passenden Aktiendepot lassen sich hier jedoch durchaus Erfolge feiern.
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