Lokale Extrema und Mittelwertsätze

In diesem Kapitel formulieren wir erste Aussagen über das qualitative Verhalten von Funktionen. Wir beginnen mit der Charakterisierung lokaler Maxima oder Minima.

 

Satz 1:

  • Sei M ⊂ℝn offen und f : M →ℝ sei (in allen x∈M) partiell differenzierbar. Die Funktion f nehme in x0∈M ein Maximum oder Minimum an. Dann gilt ∇f(x0) = 0 (bzw. im Fall n=1:  f´(x0)=0). Also die Steigung im Extrempunkt der Funktion ist 0. Ist ja logisch, da in einem Extrempunkt die Funktion ja nicht weiter steigt oder fällt, also muss die Steigung dort 0 sein.

  • Achtung: Auf die Bedingung ”M offen” kann nicht verzichtet werden, wie das Beispiel f(x) = x auf [0,1] zeigt. Also das Intervall muss offen sein.

Bemerkung:

Man spricht von einem ”lokalen Maximum (oder Minimum)” in x0∈ M, falls es eine Umgebung U von x0 gibt, so dass f(x0) = sup{f(x)|x ∈ U} (bzw. = inf{f(x)|x ∈ U}). Der Satz von oben Charakterisiert insbesondere lokale Extrema. Wobei sup für Supremum und inf für Infimum steht, also Maximum und Minimum.

 

 

Satz 2:

  • (”Satz von Rolle”) Sei f : [a,b] → ℝ stetig und auf (a,b) differenzierbar. Falls f(a) = f(b) = c ist, so gibt es ξ ∈ (a,b) mit f´(ξ) = 0.

Beweis zu Satz 2:

  1. f ≡ c ⇒ f(x) = 0 für alle x ∈ (a,b).

  2. f   ≠ c ⇒ f hat ein von c verschiedenes Supremum oder ein von c verschiedenes Infimum. Wenn f stetig und [a,b] kompakt ist, werden Extrema angenommen und müssen in (a,b) liegen, z.B. in ξ. Also ist mit Satz 1 f(ξ) = 0

 

Satz 3:

  • Ist f ∈ C0([a,b]) differenzierbar in (a,b) und ist f´≡ 0 auf (a,b), so ist f konstant auf [a,b]. Logisch wenn die Steigung auf der ganzen länge 0 ist ist es eine konstante Funktion.

Beweis zu Satz 3:

Beweis. Seien x1≠x2 ∈ [a,b]. Dann folgt aus dem Mittelwertsatz f(x2) = f(x1) + (x2−x1)·f´(ξ) (wobei f´(ξ)=0) und damit f(x2) = f(x1)

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