Topologische Begriffe im ℝ^n

In diesem Kapitel wird die Struktur von Punktmengen im ℝn untersucht.

 

Euklidische Länge und euklidischer Abstand

Die euklidische Länge eines Vektors x wird folgendermaßen definiert:

 

Seien x,y ∈ℝn. ||x−y|| heißt euklidischer Abstand von x und y. Es ist der kürzeste Abstand zweier Punkte in einem Koordinatensystem.

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Weitere wichtige Begriffe und Sätze:

  • Für x,y ∈ ℝn nennt man ⟨x,y⟩ das euklidische Skalarprodukt. Es ist ⟨x,y⟩ = (⟨x,y⟩)1/2.
  • Sei x0 ∈ ℝn. Die Menge Uε(x0) := {x ∈ℝn | ||x−x0|| < ε } heißt ε-Umgebung von (oder ε-Kugel um) x0 in ℝn

  • Eine Menge U ⊂ ℝn heißt Umgebung von x0, falls es ein ε > 0 gibt, sodass Uε(x0) ⊂ U
  •  Bolzano-Weierstraß für Mengen: Jede beschränkte Teilmenge M des ℝn mit unendlich vielen Punkten besitzt mindestens einen Häufungspunkt

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