Äquivalenzklassen und Vertretersysteme

Äquivalenzklassen

Sei∼eine Äquivalenzrelation auf der Menge X. Für jedes Element x aus X definieren wir seine Äquivalenzklasse wie folgt:

[x] := {y∈ X |y∼ x}.

(Manchmal schreibt man auch [x]∼ statt [x], um die Abhängigkeit von ∼ zu betonen.) Es ist nichts anderes als ein Element einer Äquivalenzlklasse, welches dann Symbolisch für alle Elemente steht, die diese Klasse haben.

 

Beim Beispiel welches bei den Äqivalenzrelationen gezeigt wurde ((x,y) ∈ ℝ genau dann, wenn x−y ∈ℤ.), wäre es zum Beispiel [10] oder [1,5]. Diese Äquivalenzklassen stehen dann für alle Zahlen die y-10∈ℤ bzw y-1,5∈ℤ ergeben. Dabei ist zu beachten, dass hier [10]=[5]=[1].... und [1,5]=[2,5]... denn diese haben die selbe Äquivalenzklasse, da man ja für alle die selben Elemente/Zahlen einsetzten kann, sodass y-x∈ℤ zutrifft. So ist 2-10∈ℤ, genauso wie 2-5∈ℤ ist. Die Äquivalenzklasse ist also nichts anderes, als ein Element, das Repräsentativ für alle Elemente steht, die eingesetzt werden können, sodass die Äquivalenzrelation erfüllt ist.

 

Vorstellung: Dies kann man sich auch so vorstellen, das eine Äquivalenzrelation einfach alles parallelen Geraden sind. Jede Gerade entspricht einer Äquivalenzklasse, nämlich der Geraden die durch ein bestimmten y-Achsenabschnitt verläuft. Eine Äquivalenzklasse wäre also genau eine Gerade die man dann einfach durch einen Punkt auf der Geraden spezifizieren könnte. Das wäre dann einfach die Äquivalenzklasse, da der Punkt diese genau angibt da es keine weitere Gerade gibt die dort hindurchgeht.

 

Also ist [x] eine Teilmenge von X. Diese Teilmengen liefern eine disjunkte Zerlegung der Menge X. Für x,y∈ X sind äquivalent:

  • x∈[y],
  • [x]∩[y]≠∅,
  • [x] = [y].

Vertretersysteme

Sei X eine Menge und∼eine Äquivalenzrelation. Eine Teilmenge Z von X heisst Vertretersystem für∼, falls es zu jedem y ∈ X genau ein z ∈ Z gibt mit y∼z.

Es ist also nichts anderes als eine Menge Z die immer genau ein Element jeder Äquivalenzrelation enthällt.

Beispiel/Vorstellung: Stellt man sich die Äquivalenzrelation als lauter parallele Geraden vor, wobei eine Gerade jeweils einer Äquivalenzrelation entspricht und ein Punkt der Gerade wäre dann eine Äquivalenzklasse, dann wäre eine Gerade die nicht parallel durch alle Geraden verläuft ein Vertretendensystem, da diese Gerade alle Geraden schneidet und somit von jeder Äquivalenzrelation genau ein Element bzw. einen Vertreter enthält. Das nennt man dann Vertretendensystem.

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Hilfe bei Matheproblemen - die fb Gruppe

Es gibt nun eine Facebook-Gruppe von Studimup, auf welcher ihr Hilfe bei Matheproblemen bekommt. Dies funktioniert so:

  1. Ihr stellt eure Frage als Post in die Gruppe.
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Wenn ihr also mal Schwierigkeiten bei einer bestimmten Aufgabe oder einem Thema habt, dann könnt ihr eure Frage in die Gruppe posten. Ebenso könnt ihr anderen Personen bei ihren Problemen helfen und so selbst das Thema üben und vertiefen. Mit der Gruppe soll es möglich sein, möglichst schnell antworten auf ein Problem zu bekommen (z.B. bei einer Hausaufgabe). Je mehr Leute mitmachen, desto besser funktioniert dieses System. 

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Viele kennen das, vor einer Prüfung geht die Angst rum, man wird unruhig und es geht einem nicht gut. Die Prüfungsangst schlägt zu. Wir möchten euch paar Tipps geben diese Angst etwas zu verringern und bessere Ergebnisse zu erzielen. 

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