Äquivalenzrelationen

Definition: Sei X eine Menge.

Eine Relation auf X ist eine Teilmenge R der Menge der Paare aus X, also eine Teilmenge von X×X.

Eine Relation R auf X heißt

  • reflexiv, falls (a,a)∈R für alle a∈ X,
  • symmetrisch, falls (a,b)∈R auch (b,a) ∈ R impliziert für alle a,b∈ X,
  • transitiv, falls (a,b) ∈ R und (b,c) ∈ R auch (a,c) ∈ R impliziert für alle a,b,c∈ X.

Eine reflexive, symmetrische und transitive Relation heißt ¨Äquivalenz"- oder "Ahnlichkeitsrelation".

 

Wenn ihr nun also überprüfen wollt (oder müsst), ob es eine Äquivalenzrelation ist, müsst ihr diese Eigenschaften überprüfen. Hier ein Beispiel, ihr müsst überprüfen ob dies eine Äquivalenzrelation ist:

 

(x,y) ∈ ℝ genau dann, wenn x−y ∈ℤ.

Dann überprüft ihr alle Eigenschaften:

  • Sie ist reflexiv, denn (x,x) ∈ ℝ, da x−x = 0 ∈ ℤ,
  • symmetrisch, da aus (x,y) ∈ ℝ folgt x−y ∈ ℤ, also auch −(x−y) = y−x ∈ℤ und damit (y,x)∈ℝ,
  • transitiv, da (x,y)∈ℝ und (y,z)∈ℝ bedeuten, dass x−y ∈ℤ und y−z ∈ℤ, also auch (x−y)+(y−z) = x−z ∈ℤ, also (x,z)∈ℝ.

So jetzt wisst ihr, dass dies eine Äquivalenzrelation ist! Euer Leben ist nun um einiges reicher ;)

Blog


Geld sparen mit dem int. Studentenausweis

Studenten und Schüler sind meist knapp bei Kasse und daher wird jede Möglichkeit genutzt Geld zu sparen. Eine dieser Möglichkeiten ist der internationale Studenten- und Schülerausweis (ab 12 Jahren). Mit diesem könnt ihr in über 135 Ländern Vergünstigungen bekommen! Dafür müsst ihr nur 15€ für den Ausweis zahlen. Übrigens gibt es den Ausweis auch für Lehrer!

mehr lesen 0 Kommentare