Äquivalenzrelationen

Definition: Sei X eine Menge.

Eine Relation auf X ist eine Teilmenge R der Menge der Paare aus X, also eine Teilmenge von X×X.

Eine Relation R auf X heißt

  • reflexiv, falls (a,a)∈R für alle a∈ X,
  • symmetrisch, falls (a,b)∈R auch (b,a) ∈ R impliziert für alle a,b∈ X,
  • transitiv, falls (a,b) ∈ R und (b,c) ∈ R auch (a,c) ∈ R impliziert für alle a,b,c∈ X.

Eine reflexive, symmetrische und transitive Relation heißt ¨Äquivalenz"- oder "Ahnlichkeitsrelation".

 

Wenn ihr nun also überprüfen wollt (oder müsst), ob es eine Äquivalenzrelation ist, müsst ihr diese Eigenschaften überprüfen. Hier ein Beispiel, ihr müsst überprüfen ob dies eine Äquivalenzrelation ist:

 

(x,y) ∈ ℝ genau dann, wenn x−y ∈ℤ.

Dann überprüft ihr alle Eigenschaften:

  • Sie ist reflexiv, denn (x,x) ∈ ℝ, da x−x = 0 ∈ ℤ,
  • symmetrisch, da aus (x,y) ∈ ℝ folgt x−y ∈ ℤ, also auch −(x−y) = y−x ∈ℤ und damit (y,x)∈ℝ,
  • transitiv, da (x,y)∈ℝ und (y,z)∈ℝ bedeuten, dass x−y ∈ℤ und y−z ∈ℤ, also auch (x−y)+(y−z) = x−z ∈ℤ, also (x,z)∈ℝ.

So jetzt wisst ihr, dass dies eine Äquivalenzrelation ist! Euer Leben ist nun um einiges reicher ;)

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