Dualräume

Dualräume sind relativ abstrakt, um zu verstehen was sie sind, müsst ihr erstmal wissen, was eine Linearform ist: Eine Linearform auf V ist eine lineare Abbildung von V nach K.

Die Definition eines Dualraums lautet wie folgt: Der Dualraum von V ist der Vektorraum V = HomK(V,K) der Linearformen auf V. (Falls ihr noch mal nachgucken wollt was HomK bedeutet hier der Link.) Diese Defintion ist recht abstrakt, aber sie bedeutet einfach nur, dass der Dualraum alle linearen Abbildungen des Vektorraums V nach K enthält. Also die Elemente von Vsind alles lineare Abbildungen, mehr steckt da nicht dahinter! (Wie man die Elemente aus V einsetzt seht ihr unten bei duale Abbildungen)

 

Nun par grundlegende Eigenschaften und Rechenregeln:

  • +\colon V^{*}\times V^{*}\rightarrow V^{*} durch  \left(f+g\right)(x) := f(x) + g(x) für alle x\in V, f , g\in V^*
  • \cdot \colon K\times V^{*}\rightarrow V^{*} durch (\alpha f)\left(x\right) := \alpha f(x) für alle x\in V, f \in V^*,\,\alpha \in K
  • Ist V endlich dimensional, so ist dimK V = dimK V.

Duale Abbildungen

Sei f : V →W eine lineare Abbildung. Die zu f duale oder transponierte Abbildung ist f: W →V, (dies ist immer so definiert!)  die gegeben ist durch

 

f(φ)(v) = φ(f(v))

 

für alle v∈V und φ∈W. (Das bedeutet man hat die Abbildung f von V nach W und eine lineare Abbildung φ von W nach K, allerdings ist ja v ein Element vom Vekotrraum V, die duale Abbildung bildet so zu sagen v erst nach W ab, sodass dann φ angewendet werden kann, oder umgedreht bildet sie φ auf V ab und dann v auf K) Es ist also genauso, wie wenn man erst v auf W abbildet und dann auf K nur, dass man es so zu sagen andersrum macht. Also, etwas anders geschrieben, ist

 

f(φ): V → K

 

also die Abbildung

 

φ◦f : V →W → K.

 

Ist φ∈W, so ist die oben definierte Abbildung f(φ) tatsächlich in V, also eine lineare Abbildung von V nach K. Sind nämlich v,w∈V und λ∈ K, so ist

 

f(φ(v + w))

 

= φ(f(v + w))

 

= φ(f(v) + f(w))

 

= φ(f(v)) + φ(f(w))

 

= f(φ)(v) + f(φ)(w) 64

 

und

 

f(φ)(λv)

 

= φ(f(λv))

 

= φ(λf(v))

 

= λ(φ(f(v)))

 

= λ(f(φ)(v))

 

= (λf(φ))(v).

 

 

Seien g: V → W und f : W → X lineare Abbildungen. Dann ist:

(f ◦g) = g◦ f.

 

Beweis. Es ist

(g◦ f)(λ) = g(λ◦ f)

= λ◦ f ◦g = (f ◦g)(λ)

für alle λ∈ X.

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