Quotientenvektorräume

Sei V ein K-Vektorraum und sei U ⊂ V ein K Untervektorraum. Wir definieren zunächst eine Äquivalenzrelation ∼ auf V: für x,y ∈ V setzen wir x ∼ y genau dann, wenn x−y in U enthalten ist.

Aus den Untervektorraumaxiomen folgt, dass ∼ sicherlich symmetrisch, reflexiv und transitiv ist, also eine Äquivalenzrelation. Mit [x] ⊂ V bezeichnen wir die Äquivalenzklasse von x. Sei V/U := V/ ∼ die Menge der Äquivalenzklassen von ∼ in V und sei can: V →V/U, can(x) = [x], die Abbildung, die jedem Element seine Äquivalenzklasse zuordnet.

 

Satz: Es gibt auf der Menge V/U genau eine Struktur eines K-Vektorraums, so dass die kanonische Abbildung

can: V →V/U x↦[x] ein Homomorphismus von K-Vektorräumen ist.

 

Das Paar (V/U,can) nennt man auch einen Quotienten von V nach U. Oftmals nennt man auch nur den Vektorraum V/U einen Quotienten von V nach U, aber dann denkt man sich immer implizit die kanonische Abbildung can hinzu.

 

Beweis: Es sei x ∼ x´ und y∼y´. Dann ist:

 

x + y∼ x´ + y´,

 

denn

 

x + y−(x´ + y´) = (x− x´) + (y−y´)

 

ist in U enthalten, da x− x´ und y−y´ in U enthalten sind.

Ist λ∈ K, so ist

 

λx∼λx´,

 

denn

 

λx−λx´ = λ(x−x´)

 

ist ebenfalls in U. Die Rechnungen im letzten Abschnitt zeigen, dass [x + y] und [λx] nur von den Äquivalenzklassen [x] und [y] von x und y abhängen, nicht aber von der Wahl der Vertreter. Also können wir eine Addition und eine skalare Multiplikation auf V/U definieren durch


[x] + [y] := [x + y], λ[x] := [λx].

Blog


Geld sparen mit dem int. Studentenausweis

Studenten und Schüler sind meist knapp bei Kasse und daher wird jede Möglichkeit genutzt Geld zu sparen. Eine dieser Möglichkeiten ist der internationale Studenten- und Schülerausweis (ab 12 Jahren). Mit diesem könnt ihr in über 135 Ländern Vergünstigungen bekommen! Dafür müsst ihr nur 15€ für den Ausweis zahlen. Übrigens gibt es den Ausweis auch für Lehrer!

mehr lesen 0 Kommentare