Quotientenvektorräume

Sei V ein K-Vektorraum und sei U ⊂ V ein K Untervektorraum. Wir definieren zunächst eine Äquivalenzrelation ∼ auf V: für x,y ∈ V setzen wir x ∼ y genau dann, wenn x−y in U enthalten ist.

Aus den Untervektorraumaxiomen folgt, dass ∼ sicherlich symmetrisch, reflexiv und transitiv ist, also eine Äquivalenzrelation. Mit [x] ⊂ V bezeichnen wir die Äquivalenzklasse von x. Sei V/U := V/ ∼ die Menge der Äquivalenzklassen von ∼ in V und sei can: V →V/U, can(x) = [x], die Abbildung, die jedem Element seine Äquivalenzklasse zuordnet.

 

Satz: Es gibt auf der Menge V/U genau eine Struktur eines K-Vektorraums, so dass die kanonische Abbildung

can: V →V/U x↦[x] ein Homomorphismus von K-Vektorräumen ist.

 

Das Paar (V/U,can) nennt man auch einen Quotienten von V nach U. Oftmals nennt man auch nur den Vektorraum V/U einen Quotienten von V nach U, aber dann denkt man sich immer implizit die kanonische Abbildung can hinzu.

 

Beweis: Es sei x ∼ x´ und y∼y´. Dann ist:

 

x + y∼ x´ + y´,

 

denn

 

x + y−(x´ + y´) = (x− x´) + (y−y´)

 

ist in U enthalten, da x− x´ und y−y´ in U enthalten sind.

Ist λ∈ K, so ist

 

λx∼λx´,

 

denn

 

λx−λx´ = λ(x−x´)

 

ist ebenfalls in U. Die Rechnungen im letzten Abschnitt zeigen, dass [x + y] und [λx] nur von den Äquivalenzklassen [x] und [y] von x und y abhängen, nicht aber von der Wahl der Vertreter. Also können wir eine Addition und eine skalare Multiplikation auf V/U definieren durch


[x] + [y] := [x + y], λ[x] := [λx].

Blog


Gemeinsam gegen Matheprobleme - die fb Gruppe

Es gibt nun eine Facebook-Gruppe von Studimup, auf welcher ihr Hilfe bei Matheproblemen bekommt. Dies funktioniert so:

  1. Tretet der Gruppe bei
  2. Ihr stellt eure Frage als Post in die Gruppe.
  3. Wenn jemand die Antwort weiß, kann er sie in den Kommentaren beantworten. 

Wenn ihr also mal Schwierigkeiten bei einer bestimmten Aufgabe oder einem Thema habt, dann könnt ihr eure Frage in die Gruppe posten. Ebenso könnt ihr anderen Personen bei ihren Problemen helfen und so selbst das Thema üben und vertiefen. Mit der Gruppe soll es möglich sein, möglichst schnell antworten auf ein Problem zu bekommen (z.B. bei einer Hausaufgabe). Je mehr Leute mitmachen, desto besser funktioniert dieses System. 

mehr lesen 1 Kommentare