Vektorräume

Definition: Ein Vektorraum über dem Körper K (auch ein K-Vektorraum genannt) ist eine abelsche Gruppe (V,+) zusammen mit einer skalaren Multiplikation. (also eine Zahl mal einen Vektor)

 

K×V →V

(λ,v) ↦ λv,

 

so dass folgende Eigenschaften erfüllt sind für alle λ,µ∈ K und v,w∈V:

 

λ(v + w) = (λv) + (λw),

(λ + µ)v = (λv) + (µv),

λ(µv) = (λµ)v,

1Kv = v.

 

Hier soll 1K das neutrale Element in K bzgl. der Multiplikation stehen. Ihr könnt es euch so Vorstellen, dass v Vektoren sind und die Elemente aus K einfach die Vorfaktoren mit denen die Vektoren gestreckt werden, sodass neue Vektoren bei rauskommen, so wie ihr das bereits aus der Schule kennt.

Der Vektorraum K^n

Ist n ∈ ℕ, so ist das n-fache Produkt Kn die Struktur eines K-Vektorraums: Die Vektoren sind also n-Tupel von Elementen aus K. Es ist üblich, diese n-Tupel in Spaltenform zu notieren, wie ihr das bereits aus der Schule kennt, es sind nämlich Vektoren:

Beides sind Vektoren im ℝ4. Also ein Kn Vektorraum ist einfach ein n Dimensionaler Raum, also sind auch die Vektoren mit n-Zeilen. Allgemein wird ein Vektor im K4 so notiert:

Das bedeutet also nichts anderes, als dass x1, x2, x3 und x4 irgendwelche Elemente in K sind. Ein allgemeiner Vektor im Kn ist dann:

Kn Addition wird definiert durch die Vorschrift:

Die skalare Multiplikation auf Kn wird definiert durch:

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