Abbildungsräume

Sei M eine Menge und K ein Körper. Es wird nun gezeigt, dass die Menge Abb(M,K) aller Abbildungen von M nach K eine Natürliche Struktur als Vektorraum trägt.

Zunächst definieren wir die Addition. Für f,g ∈ Abb(M,K) wollen wir also f+g ∈Abb(M,K) definieren. Dazu setzen wir für alle m∈ M

 

(f + g)(m) = f(m) + g(m).

 

Dies ist wieder ein Element in K und wir erhalten eine Abbildung λf von M nach K. Mit diesen Verknüpfungen ist Abb(M,K) ein Vektorraum: Zunächst ist Abb(M,K) mit “+” eine abelsche Gruppe. Die Assoziativität ist klar, die Null ist die Abbildung 0Abb(M,K): M → K, die jedes Element auf 0K abbildet, und die zu f inverse Abbildung ist die Abbildung −f : M → K, die m abbildet auf −f(m). Die Vektorraumaxiome ergeben sich unmittelbar daraus, dass sie für das Ziel unserer Abbildungen, also den Körper K gelten.

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