Der Spann

Sei V ein Vektorraum und X ⊂ V eine Teilmenge. Nun gibt es sicherlich Untervektorräume U von V, die X enthalten. Wenn wir nun den Durchschnitt aller Unterräume bilden, die X enthalten, so erhalten wir wieder einen Unterraum. Dieser Unterraum muss natürlich ebenfalls X enthalten. Er ist somit der kleinste Unterraum von V, der X enthält. Deswegen trägt er einen speziellen Namen, nämlich Spann.

 

Definition: Sei X ⊂ V eine Teilmenge. Der Spann von X (oder der von X aufgespannte Teilraum oder der von X erzeugte Teilraum) ist der Durchschnitt aller Untervektorräume von V, die X enthalten. Er wird mit ⟨X⟩ bezeichnet. Es ist also:

Also ist der Spann:

 

⟨X⟩ = {v∈V | v ist eine Linearkombination von Vektoren aus X}.

 

Somit ist der Spann nichts anderes als eine Basis des Vektorraums.

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