Lineare Unabhängigkeit

Vektoren sind...:

  • linear abhängig, wenn sich mindestens einer der Vektoren aus den anderen mithilfe der Linearkombination zusammenbasteln lässt. 
  • linear unabhängig, wenn sich keiner der Vektoren mithilfe der Linearkombination zusammenbasteln lässt.

Mathematische Definition

Definition: Sei L⊂V eine Teilmenge.

  • L heißt linear abhängig, wenn es ein n ≥ 1 und paarweise verschiedene (dh. keine Vektoren sind idetntisch, sondern alle sind verschieden) Vektoren v1,...,vn ∈ L und (nicht notwendigerweise paarweise verschiedene) λ1,...,λn ∈ K gibt, die nicht alle = 0K sind, mit:

λ1v1 +···+ λnvn = 0V.

 

Übersetzung: Ihr nehmt also ein par Vektoren aus dem Vektorraum V, diese auserwählten Vektoren nennt ihr dann L. Wenn ihr jetzt die Vektoren L mit einer Linearkombination (also irgendwelche Zahlen mal die Vektoren rechnet und diese miteinander addiert) zum Nullvektor zusammenbasteln könnt, dann ist L linear abhängig. Natürlich dürfen dabei nicht alle Zahlen λ=0 sein, sonst könnte man schließlich immer auf den 0 Vektor kommen. 

  • L heißt linear unabhängig, wenn L nicht linear abhängig ist.

Auf lineare Unabhängigkeit überprüfen:

Beispiele

Diese Vektoren sind linear abhängig, da sich der letzte Vektor aus den drei Vektoren davor bauen lässt.

Diese drei Vektoren sind linear unabhängig, denn keiner der Vektoren lässt sich von den anderen zusammenbauen.

Empfohlenes Video zur Veranschaulichung

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