Untervektorräume

Analog zum Begriff einer Untergruppe kann man auch Untervektorräume definieren. Sei V ein K-Vektorraum.

 

Definition: Sei U eine Teilmenge von V. Dann heißt U stabil (oder abgeschlossen) unter der skalaren Multiplikation, wenn aus λ ∈ K und u ∈ U auch λu∈U folgt. Ist U stabil unter der skalaren Multiplikation, dann erhalten wir also durch Einschränkung eine Abbildung K×U →U, (λ,u)→λu.  Eine Teilmenge U von V heißt Untervektorraum von V, falls U sowohl stabil ist unter der Addition in V als auch unter der skalaren Multiplikation und mit diesen beiden Verknüpfungen selbst ein Vektorraum ist. 

 

Dies ist eine recht umständliche Definition, deshalb hier seht ihr, was ihr prüfen müsst um sagen zu können ob es ein Untervektorraum ist:

  • U ist nicht die leere Menge. 
  • Sind v,w in U, so ist auch v + w in U.
  • Ist v∈U und λ∈ K, so ist auch λv∈U.

Wenn alles drei zutrifft, ist es ein Untervektorraum.

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