Fläche unter einem Graphen bestimmen

Sollt ihr die Fläche unter einem Graphen mit gegebenen Grenzen bestimmen, müsst ihr nur die Stammfunktion bestimmen und die Grenzen ins bestimmte Integral einsetzen und ausrechnen, aber Achtung:

Ist die Funktion jedoch in den gegeben Grenzen teilweise unter und teilweise über der x-Achse, müsst ihr aufpassen, dann müsst ihr die Nullstellen bestimmen und die Flächen zwischen den Nullstellen einzeln ausrechnen und dann addieren. Also das Vorgehen ist bei so einer Aufgabe Folgendes:

  1. Stammfunktion bestimmen
  2. Ist der Graph der Funktion (NICHT Stammfunktion) bei den gegebenen Grenzen nur über oder unter der x-Achse?
    • Wenn ja könnt ihr einsetzen und ausrechnen und seit fertig (Beispiel 1)
    • wenn nein (also es gibt eine Nullstelle) müsst ihr folgendes machen (Beispiel 2):
    1. Bestimmt den Punkt, an dem die Funktion das Vorzeichen wechselt, das sind die Nullstellen
    2. Integriert vom Anfangspunkt bis zur Nullstelle
    3. Dann integriert ihr von der Nullstelle bis zum Endpunkt (außer es gibt mehr Nullstellen, dann integriert ihr bis zur nächsten Nullstelle)
    4. Addiert eure Ergebnisse (aber nur die Beträge, also ohne Minus!). Das ist dann euer Ergebnis.

Vorwissen

Folgendes müsst ihr dafür können:

Beispiel 1 (ohne Vorzeichenwechsel)

Hier zeigen wir euch, wie man die Fläche unter der Funktion f(x)=3x2 von -2 bis 2 berechnet:

  • Man setzt erst mal alles ins bestimmte Integral ein, also die untere und obere Grenze sowie die Funktion und bestimmt die Stammfunktion:
  • Jetzt muss man nur noch das bestimmte Integral ausrechnen (wie das geht findet ihr HIER):

Hier seht ihr diese Funktion. In Rot seht ihr die Fläche, die gerade berechnet wurde. Sie beträgt 16 FE (Flächeneinheiten). 


Beispiel 2 (mit Vorzeichenwechsel)

Es sei die Funktion f(x)=x gegeben und es soll die Fläche von -2 bis 2 berechnet werden:

  • Setzt dazu erst mal alles ins bestimmte Integral ein, also obere und untere Grenze, sowie die Funktion.
  • Beachtet dabei aber, dass die Funktion einen Vorzeichenwechsel hat (also einmal unter der x-Achse ist und einmal darüber! Deshalb muss erst von -2 bis zur Nullstelle (hier ist es 0) das Integral berechnet werden und dann von 0 bis 2:
  • und dann von 0 bis 2:
  • Danach addiert man die Beträge (also keine Minuszeichen) der Lösungen und erhält so die Fläche:

Hier seht ihr dieses Beispiel. Wie ihr erkennen könnt, ist ein Teil der Fläche unter dem Graphen und ein Teil über dem Graphen. Sollt ihr in der Aufgabe die Fläche bestimmen, müsst ihr beide Flächen (also über und unter dem Graphen) einzeln bestimmen, da sonst die untere Fläche von der Oberen abgezogen wird.


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