Fläche unter einem Graphen bestimmen

Sollt ihr die Fläche unter einem Graphen mit gegebenen Grenzen berechnen, müsst ihr dies mit dem bestimmten Integral machen.  Ist der Graph der Funktion (NICHT Stammfunktion) zwischen den gegebenen Grenzen nur über oder unter der x-Achse? 

 

  • Wenn ja, könnt ihr die Grenzen als Anfangs- und Endpunkt in das bestimmte Integral einsetzen und die Fläche berechnen (Bsp. 1). 
  • Wenn nein (also ist der Graph mal über und mal unter der xAchse), müsst ihr Folgendes machen (Bsp. 2)
    1. Bestimmt die Nullstelle/n
    2. Integriert vom Anfangspunkt bis zur Nullstelle
    3. Dann integriert ihr von der Nullstelle bis zum Endpunkt (außer es gibt mehr Nullstellen, dann integriert ihr bis zur nächsten Nullstelle).
    4. Addiert eure Ergebnisse (aber nur die Beträge, also ohne Minus!). Das ist dann euer Ergebnis. 

Erklärung

Sollt ihr die Fläche berechnen, müsst jeweils bis zur Nullstelle einzeln integrieren, wenn zwischen End- und Anfangspunkt die Fläche mal über und mal unter der x-Achse liegt. Das liegt daran, da sonst die Fläche von unter der x-Achse von der, die über der x-Achse liegt, abgezogen wird, da die Fläche unter der x-Achse beim Integral immer negativ ist und die über der x-Achse positiv. In diesem Beispiel (Bild) würde sonst 0 für die Fläche rauskommen, da die Fläche unter der x-Achse genauso groß ist, wie die darüber. Also erst die Fläche unter der x-Achse ausrechnen, danach die, die darüberliegt und dann beide Beträge addieren, so erhält man das richtige Ergebnis.   

Erklärung der Flächen unterhalb und oberhalb einer Funktion, auch mit Vorzeichen der Flächen.

Beispiel 1 (ohne Vorzeichenwechsel)

Ihr möchtet die Fläche zwischen dieser Funktion und der x-Achse von -2 bis 2 wissen. 

Beispielaufgabe zur Berechnung der Fläche unterhalb einer Funktion.
  • Diese Funktion ist nie negativ, also auch nur oberhalb der x-Achse, also könnt ihr direkt das Integral aufstellen. Setzt die Grenzen als Anfangs und Endpunkt ein.
Erster Rechenschritt zur Berechnung der Fläche unterhalb einer Funktion.
  • Bestimmt die Stammfunktion (wie das geht findet ihr HIER):
Stammfunktion der Funktion berechnen.
  • Jetzt könnt ihr das Integral ausrechnen. Das Ergebnis ist dann die Fläche unter dem Graphen und der x-Achse zwischen 2 und -2.
Lösung der Beispielaufgabe zur Berechnung der Fläche.

Hier seht ihr den Graphen und die Fläche dieser Funktion: 

Grafik mit farblicher Markierung der Fläche unterhalb der Funktion, welche im Beispiel berechnet wurde.

In Rot seht ihr die Fläche, die gerade berechnet wurde. Sie beträgt 16 FE (Flächeneinheiten). 


Beispiel 2 (mit Vorzeichenwechsel)

Ihr möchtet die Fläche dieser Funktion von -2 bis 2 berechnen. 

Beispiel einer linearen Funkion.
  • Ihr bemerkt, dass die Funktion zwischen -2 und 2 nicht nur positiv oder nur negativ ist. Also bestimmt ihr die Nullstelle der Funktion, die zwischen 2 und -2 liegt. Hier ist sie bei x=0. 
Nullstelle der linearen Funktion.
  • Integriert vom Anfangspunkt (-2) bis zur Nullstelle (0). 
Integration vom Startpunkt bis zur Nullstelle der Funktion.
  • Jetzt noch von der Nullstelle bis zum Endpunkt integrieren.
Integration von der Nullstelle bis zum Endpunkt.
  • Jetzt addiert ihr die Beträge der Ergebnisse.  Die Fläche unter dem Graphen von -2 bis 2 ist 4FE (Flächeneinheiten) groß.
Lösung des Beispiels zur Berechnung der Fläche einer Funktion, die mal oberhalb und mal unterhalb der x-Achse liegt.
Grafik zur Veranschaulichung der berechneten Flächen unterhalb der Funktion.

So sieht die Funktion und die Fläche unter dem Graphen vom Beispiel aus. Anfangspunkt ist grün, Nullstelle rot und Endpunkt blau. Die Fläche unter der xAchse ist Lila (wie das Ergebnis beim Rechnen) und über der x-Achse orange (ebenfalls wie das Ergebnis). 


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