Fläche zwischen zwei Graphen

Wenn man zwei Funktionen hat, die zwischen den Schnittpunkten S1 und S2 eine Fläche einschließen, wobei f(x) bei der gefragten Fläche über g(x) liegt, berechnet man die eingeschlossene Fläche folgendermaßen:

 

Formel zur Berechnung von der Fläche zwischen zwei Graphen.

Schritt für Schritt Vorgehen

  1. Macht euch eine Skizze und überlegt euch, welche Funktion über der Anderen liegt (eine ist über der Fläche die berechnet werden soll, die Andere liegt darunter).
  2. Bestimmt ihr die Schnittpunkte der Funktionen. (Dazwischen ist ja die eingeschlossene Fläche)
  3. Zieht die obere Funktion, von der, die unter ihr liegt, ab. (Eine ist über der Fläche, die berechnet werden soll, die andere liegt darunter)
  4. Berechnet dann das Integral von dieser "neuen" Funktion und ihr erhaltet die Fläche. Dazu setzt ihr den ersten Schnittpunkt als untere Grenze im Integral ein und den Zweiten als obere Grenze. Dann seid ihr fertig, außer ihr habt mehr als 2 Schnittpunkte der Funktionen, dann geht es hier weiter:
  5. Haben die Funktionen mehr als zwei Schnittpunkte müsst ihr die Flächen getrennt berechnen, also erst die erste Fläche vom ersten Schnittpunkt bis zum 2. und dann vom 2. Schnittpunkt bis zum 3…. Dann addiert ihr die beiden Flächen. (Passt auf!: einmal ist die eine Funktion oben, dann die Andere, das dürft ihr nicht vergessen) 

Beispiel 1

Ihr möchtet die Fläche, die zwischen diesen Funktionen eingeschlossen wird, berechnen, dabei liegt f über g:

Angabe für ein Beispiel zur Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionen.
  • Bestimmt zunächst die Schnittpunkte, wie das genau geht, findet ihr HIER nochmal.
Berechnung der Schnittpunkte zweier Funktionen, von welche eine linear ist und die andere quadratisch.
  • Habt ihr die Schnittpunkte, zieht ihr die obere Funktion, von der die darunter liegt, ab und integriert diese vom ersten Schnittpunkt bis zum Zweiten. Hier liegt f ja über g und die Schnittpunkte wurden davor berechnet, sie sind -1 und 2:
Rechenweg zur Berechnung der Fläche zwischen zweier Funktionen.
  • Berechnet dies dann und ihr habt eure Lösung, die Fläche zwischen den Graphen:
Lösung des Beispiels zur Berechnung der eingeschlossenen Fläche zwischen zwei Funktionen.

Also ist die Eingeschlossene Fläche dieser Funktionen 4,5 Flächeneinheiten groß.  

Grafik mit Veranschaulichung der berechneten Fläche zwischen zwei Funktionen.

So sehen die Funktionen und die dazwischen eingeschlossene Fläche aus.  


Integralrechner

Hier könnt ihr euch bestimmte Integrale ausrechnen lassen:

Beispiel 2

Hier noch ein Beispiel. Ihr möchtet die Fläche zwischen diesen beiden Funktionen berechnen:

Aufgabe zur Berechnung der Fläche zwischen den Funktionen g und f.
  • Zunächst berechnet ihr die Schnittpunkte der Funktionen, denn schließlich ist die Fläche genau zwischen den Schnittpunkten. Das sind die Grenzen für die Integration:
Erster Schritt ist die Berechnung beider Schnittpunkte der Funktionen.
  • Nun setzt ihr die Grenzen in das Integral ein und zieht beide Funktionen im Integral voneinander ab, dabei wird f von g abgezogen, da g über der Fläche liegt und f darunter (siehe Bild unten):
Rechenschritt zur Berechnung des Integrals mit Start und Endpunkt.
  • Dieses Integral rechnet ihr nun aus und ihr habt die Fläche:
Lösung der Aufgabe mit Angabe der Fläche.
  • Die Fläche beträgt also 2,66666... FE (Flächeneinheiten).
Grafik, welche beide Funktionen der Aufgabe zeigt.

Hier seht ihr die beiden Funktionen, dabei ist f grün und g rot. 


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