Fläche zwischen zwei Graphen

Wenn man zwei Funktionen hat, die zwischen den Schnittpunkten S1 und S2 eine Fläche einschließen, wobei f(x) bei der gefragten Fläche über g(x) liegt, berechnet man die eingeschlossene Fläche folgendermaßen:

 

Schritt für Schritt Vorgehen

  1. Macht euch eine Skizze und überlegt euch, welche Funktion über der anderen liegt (eine ist über der Fläche die berechnet werden soll, die andere liegt darunter).
  2. Falls ihr die eingeschlossene Fläche von zwei Funktionen berechnen sollt, bestimmt ihr die Schnittpunkte der Funktionen. (dazwischen ist ja die eingeschlossene Fläche)
  3. Zieht die obere Funktion, von der, die unter ihr liegt, ab. (eine ist über der Fläche, die berechnet werden soll, die andere liegt darunter)
  4. Berechnet dann das Integral von dieser "neuen" Funktion und ihr erhaltet die Fläche. Dazu setzt ihr,...
    • ...falls ihr Punkte von wo bis wo die Fläche berechnet werden soll gegeben habt, diese als obere und untere Grenze ein.
    • ...falls ihr eine eingeschlossene Fläche berechnen sollt, den ersten Schnittpunkt als untere Grenze im Integral ein und den Zweiten als obere Grenze. Dann seid ihr fertig, außer ihr habt mehr als 2 Schnittpunkte der Funktionen, dann geht es hier weiter:
  5. Ist ein weiterer Schnittpunkt in dem Bereich, worüber ihr integriert (also mehr als 2 Schnittpunkte), müsst ihr die Flächen getrennt berechnen, also erst die erste Fläche vom ersten Schnittpunkt bis zum 2. und dann vom 2. Schnittpunkt bis zum 3. und addiert dann die beiden Flächen. (Passt auf!: einmal ist die eine Funktion oben, dann die andere, dass dürft ihr nicht vergessen)


Beispiel 1

Ihr möchtet die Fläche, die zwischen diesen Funktionen eingeschlossen wird, berechnen, dabei liegt f über g:

  • Bestimmt zunächst die Schnittpunkte, wie das genau geht, findet ihr HIER nochmal.
  • Habt ihr die Schnittpunkte, zieht ihr die obere Funktion, von der die darunter liegt, ab und integriert diese vom ersten Schnittpunkt bis zum Zweiten. Hier liegt f ja über g und die Schnittpunkte wurden davor berechnet, sie sind -1 und 2:
  • Berechnet dies dann und ihr habt eure Lösung, die Fläche zwischen den Graphen:

Hier seht ihr das Beispiel von gerade eben. Die grüne Funktion ist f und die rote ist g. Die Fläche, die sie zusammen einschließen, ist die, die wir soeben berechnet haben.


Integralrechner

Hier könnt ihr euch bestimmte Integrale ausrechnen lassen:

Beispiel 2

Hier noch ein Beispiel. Ihr möchtet die Fläche zwischen diesen beiden Funktionen berechnen:

  • Zunächst berechnet ihr die Schnittpunkte der Funktionen, denn schließlich ist die Fläche genau zwischen den Schnittpunkten. Das sind die Grenzen für die Integration:
  • Nun setzt ihr die Grenzen in das Integral ein und zieht beide Funktionen im Integral voneinander ab, dabei wird f von g abgezogen, da g über der Fläche liegt und f darunter (siehe Bild unten):
  • Dieses Integral rechnet ihr nun aus und ihr habt die Fläche:
  • Die Fläche beträgt also 2,66666... FE (Flächeneinheiten).

Hier seht ihr die beiden Funktionen, dabei ist f grün und g rot. 


Empfohlenes Video

Unser Blog


Tipps gegen Prüfungsangst

Viele kennen das, vor einer Prüfung geht die Angst rum, man wird unruhig und es geht einem nicht gut. Die Prüfungsangst schlägt zu. Wir möchten euch paar Tipps geben diese Angst etwas zu verringern und bessere Ergebnisse zu erzielen. 

mehr lesen 0 Kommentare