Äquivalenzumformung

Die Äquivalenzumformung ist wichtig, um Gleichungen lösen zu können. Sie ist dafür da, bei einer Gleichung die Unbekannte auf eine Seite zu bringen (also nach einer Variablen aufzulösen) und den Rest auf die andere, sodass man die Unbekannte bestimmen kann. Es soll also am Ende dastehen x=... . Das funktioniert, indem man einen Äquivalenzstrich hinter der Gleichung macht, welcher aussagt, dass die Rechenoperation, welche danach steht, auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt wird. Das darf man, weil wenn man etwas auf beiden Seiten gleich multipliziert, addiert, subtrahiert..., verändert sich der Wert der Gleichung nicht, so wie wenn man dasselbe Gewicht auf beiden Enden einer Waage legt.

Das sieht dann für die verschiedenen Rechenoperationen folgendermaßen aus:

Addition und Subtraktion

Wollt ihr etwas mit Plus oder Minus auf die andere Seite bringen, schreibt ihr das hinter dem Äquivalenzstrich hin und führt diese Aktion dann auf beiden Seiten durch. Führt diese Operation immer mit dem gegenteiligen Rechenzeichen durch, so fällt es auf der einen Seite weg und ist dann auf der anderen Seite.


Beispiele:

Beispiel für die Äquivalenzumformung mithilfe der Subtraktion
Beispiel für die Äquivalenzumformung mithilfe der Multiplikation

Übungsaufgaben mit Lösungen:

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x+5=6 Einblenden
x-3=1 Einblenden

Mulitplikation und Division

Wollt ihr etwas mit mal oder geteilt auf die andere Seite bringen, schreibt ihr das hinter den Äquivalenzstrich und führt das auf beiden Seiten durch. Dabei kürzt sich in unserem Beispiel die 10 auf einer Seite weg. Es ist wichtig, dass ihr JEDEN Summanden auf beiden Seiten multiplizieren oder teilen müsst (also alles, was mit einem - oder + abgetrennt ist, müsst ihr teilen)! Macht einfach eine Klammer um die Terme links und rechts vom = und nehmt die ganzen Klammern mal oder geteilt.


Beispiele:

Beispiel für die Äquivalenzumformung mithilfe der Division
Beispiel für die Äquivalenzumformung mithilfe der Multiplikation

Übungsaufgaben mit Lösungen:

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5x=10 Einblenden
x:5=2 Einblenden

Potenzieren und Wurzel-ziehen

Wollt ihr etwas Potenzieren oder eine Wurzel ziehen, müsst ihr das, wie bei den anderen Rechenoperationen, auf beiden Seiten genauso machen, dabei müsst ihr eine Klammer um beide Seiten des = machen und das Gesamte dann hoch 3 nehmen oder die Wurzel davon ziehen. Führt deshalb diese Umformung ganz zum Schluss durch, also alles Andere auf die andere Seite mit plus, minus, mal und geteilt und nur noch die Wurzel oder Potenz auf der anderen Seite. Schaut euch dann noch mal die Potenzgesetze und Wurzelgesetze an, falls ihr euch unsicher seid.


Beispiele:

Beispiel für die Äquivalenzumformung mithilfe der Wurzel
Beispiel für die Äquivalenzumformung mithilfe der Potenz

Übungsaufgaben mit Lösungen:

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x2=9 Einblenden
√x=2 Einblenden

Mischung aus mehreren Rechenoperationen

Habt ihr eine Mischung aus mehreren Rechenoperationen, müsst ihr diese hintereinander durchführen. Wichtig ist, dass ihr in der richtigen Reihenfolge umformt, damit es nicht zu kompliziert wird also:

  1. Addition und Subtraktion
  2. Multiplizieren und Dividieren
  3. Wurzel ziehen und Potenzieren

Hier ein Beispiel dafür:

Beispiel für die Äquivalenzumformung mithilfe von mehreren Rechenoperationen

Übungsaufgaben mit Beispielen:

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3x-2=4 Einblenden
2(x)^2+2=10 Einblenden
5x+2=7 Einblenden
2√(x)+2=10 Einblenden

Ungleichungen richtig umfromen und lösen

Ihr könnt diese Gleichungen ganz normal mit der Äquivalenzumformung umformen, ihr müsst nur eine Kleinigkeit beachten, und zwar, dass sich das größer und kleiner Zeichen bei bestimmten Umformungen umdreht, nämlich wenn man... :

  • ... die Gleichung mit einer negativen Zahl multipliziert
  • ... die Gleichung mit einer negativen Zahl dividiert
  • ... die Gleichung mit einer negativen Zahl potenziert (hoch -1 z.B.)
  • ... auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrbruch bildet

Beispiele:

-2x < 4  |:(-2)

x > -2

-0,2x > 1  | ·(-5)

x < -5

5x ≤ 10   |:5

x ≤ 2

6x+2 ≥ 8   |-2

6x ≥ 6       |:6

x ≥ 1


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