Äquivalenzumformung

Die Äquivalenzumformung ist wichtig, um Gleichungen lösen zu können. Sie ist dafür da, um bei einer Gleichung die Unbekannte auf einer Seite zu isolieren (also nach einer Variablen aufzulösen), sodass man die Unbekannte bestimmen kann. Es soll also am Ende dastehen x=... . Das funktioniert, indem man einen Äquivalenzstrich hinter der Gleichung macht, welcher aussagt, dass die Rechenoperation, welche dahintersteht, auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt wird. Das darf man, weil wenn etwas auf beiden Seiten multipliziert, addiert, subtrahiert, ... wird, sich der Wert der Gleichung nicht verändert, so, wie wenn man dasselbe Gewicht auf beide Enden einer Waage legt. 

Addition und Subtraktion

Wollt ihr etwas mit Plus oder Minus auf die andere Seite bringen, schreibt ihr das hinter dem Äquivalenzstrich hin und führt diese Aktion dann auf beiden Seiten durch. Führt diese Operation immer mit dem gegenteiligen Rechenzeichen durch, so fällt es auf der einen Seite weg und ist dann auf der anderen Seite.


Beispiele:

Beispiel für die Äquivalenzumformung mithilfe der Subtraktion
Beispiel für die Äquivalenzumformung mithilfe der Multiplikation

Übungsaufgaben mit Lösungen:

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x+5=6 Einblenden
x-3=1 Einblenden

Mulitplikation und Division

Wollt ihr etwas mit mal oder geteilt auf die andere Seite bringen, schreibt ihr das hinter den Äquivalenzstrich und führt das auf beiden Seiten durch. Es ist wichtig, dass ihr JEDEN Summanden auf beiden Seiten multiplizieren oder teilen müsst (siehe "Rechenregel" weiter unten).


Beispiele:

Beispiel für die Äquivalenzumformung mithilfe der Division
Beispiel für die Äquivalenzumformung mithilfe der Multiplikation

Übungsaufgaben mit Lösungen:

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5x=10 Einblenden
x:5=2 Einblenden

Potenzieren und Wurzel-ziehen

Wenn ihr eine Potenz/Wurzel habt, dann könnt ihr diese mit einer Wurzel/Potenz auflösen. Dabei ist der Wurzelexponent immer dem Exponenten der Potenz gleich. Wird also zum Beispiel etwas quadriert, kann dies mit der 2. Wurzel (die „gewöhnliche“ Wurzel) auf die andere Seite „gebracht“ werden.


Beispiele:

Beispiel für die Äquivalenzumformung mithilfe der Wurzel
Beispiel für die Äquivalenzumformung mithilfe der Potenz

Übungsaufgaben mit Lösungen:

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x2=9 Einblenden
√x=2 Einblenden

Mischung aus mehreren Rechenoperationen

Habt ihr eine Mischung aus mehreren Rechenoperationen, müsst ihr diese hintereinander durchführen. Wichtig ist, dass ihr in der richtigen Reihenfolge umformt, damit es nicht zu kompliziert wird, also:

  1. Addition und Subtraktion
  2. Multiplizieren und Dividieren
  3. Wurzel ziehen und Potenzieren

Hier ein Beispiel dafür:

Beispiel für die Äquivalenzumformung mithilfe von mehreren Rechenoperationen

Übungsaufgaben mit Beispielen:

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3x-2=4 Einblenden
2(x)^2+2=10 Einblenden
5x+2=7 Einblenden
2√(x)+2=10 Einblenden

Rechenregel

Ihr müsst folgende Regel bei der Äquivalenzumformung beachten:

Wird nach dem Äquivalenzstrich multipliziert, dividiert, die Wurzel gezogen oder potenziert, müsst ihr dies immer für die „ganze Seite“ einer Gleichung durchführen.

Dafür setzt ihr Klammern um den ganzen Term nach/vor dem „=“ und schreibt da die Rechenoperation dran.

Und NICHT:

Ungleichungen richtig umfromen und lösen

Ihr könnt diese Gleichungen ganz normal mit der Äquivalenzumformung umformen, ihr müsst nur eine Kleinigkeit beachten, und zwar, dass sich das größer und kleiner Zeichen bei bestimmten Umformungen umdreht, nämlich wenn man... :

  • ... die Gleichung mit einer negativen Zahl multipliziert
  • ... die Gleichung mit einer negativen Zahl dividiert
  • ... die Gleichung mit einer negativen Zahl potenziert (hoch -1 z.B.)
  • ... auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrbruch bildet

Beispiele:

-2x < 4  |:(-2)

x > -2

-0,2x > 1  | ·(-5)

x < -5

5x ≤ 10   |:5

x ≤ 2

6x+2 ≥ 8   |-2

6x ≥ 6       |:6

x ≥ 1


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