Anzahl der Möglchkeiten/Ereignisse berechnen (Kombinatorik)

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werdet ihr sicher irgendwann ausrechnen müssen, wie viele Möglichkeiten oder Anordnungen es bei einem Experiment gibt. Also konkret wie viele mögliche Ereignisse gibt es. Um diese zu berechnen, kommt es immer darauf an, wie das Experiment aufgebaut ist:

 

Übersicht

  1. Anordnungen
    1. Anzahl möglicher Ereignisse bei einer Anordnung
      • z.B. 5 Leute auf 5 Stühle setzen
      • 10 Autos in 10 Parklücken einordnen
    2. Anzahl möglicher Ereignisse bei einer Anordnung mit gleichen Objekten
      • z.B. 3 VW´s und 2 Volvos in 5 Parklücken
      • Reihenfolge beim ziehen von 4 roten und 2 blauen Kugeln
  2. Auswahlen
    1. Unter Betrachtung der Reihenfolge
      1. Anzahl möglicher Ereignisse ohne "Zurücklegen" bzw. Mehrfachauswahl
        • z.B: 3 aus 5 Kugeln ziehen, wobei wichtig ist welche zuerst und welche zuletzt gezogen wird
      2. Anzahl möglicher Ereignisse mit "Zurücklegen" bzw. Mehrfachauswahl
        • z.B. Zahlenschloss mit 3 Einstellungsstellen (3 Ringe an denen man die Zahl hin dreht) und je 10 Zahlen.
        • Eine Binärzahl kennt 2 Zustände (0 und 1).
    2. Ohne Betrachtung der Reihenfolge
      1. Anzahl möglicher Ereignisse ohne "Zurücklegen" bzw. Mehrfachauswahl
        • z.B. Lotto 6 aus 49, also man zieht 6 Kugeln aus 49
        • Mehrfachwurf einer Münze, wobei die Anzahl an Möglichkeiten berechnet werden soll, wenn beispielsweise 2 mal Kopf vorkommen soll.
      2. Anzahl möglicher Ereignisse mit "Zurücklegen" bzw. Mehrfachauswahl
        • z.B. 4 Kugeln werden aus einem Topf von 6 Kugeln gezogen, dabei wird nach jedem mal die Kugel gleich wieder zurückgelegt. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

1. Anordnungen:

Anzahl möglicher Ereignisse bei einer Anordnung

Dies ist der Fall, wenn man beispielsweise 5 Leute hat und ausrechnen will, wie viele Möglichkeiten es gibt sie nebeneinander zustellen. Dies berechnet sich relativ leicht, ihr nehmt einfach die Fakultät der Anzahl von Leuten bzw. den Objekten, die ihr anordnen wollt. Wichtig dabei das aber alle Objekte unterscheidbar sind. n ist die Anzahl an Objekten:

 

n!

Beispiele der Anwendung:

  • 5 Leute auf 5 Stühle setzen
  • 10 Autos in 10 Parklücken einordnen
Ihr möchtet wissen, wie viele Möglichkeiten es gibt, eure 10 Geburtstagsgäste auf die Stühle am Tisch hinzusetzen. Einblenden

Anzahl möglicher Ereignisse bei einer Anordnung mit gleichen Objekten

Habt ihr also mehrere Objekte, von denen aber manche gleich sind und ihr wissen wollt, wie man sie anordnen kann, berechnet man es folgendermaßen:

  1. Nehmt die Fakultät der Objekte insgesamt, also wie viele es sind
  2. Teilt dies durch die Fakultät aller gleichen Objekte, habt ihr also zum Beispiel 6 Kugeln davon sind 4 gleich und noch mal 2 gleich, dann teilt ihr also durch 4! · 2!.

Beispiel: Ihr habt n Kugeln und zieht eine nach der anderen aber davon sind k1 rot, k2 schwarz, k3 blau..., also die sind gleich. Dann berechnet ihr das so:

Beispiele der Anwendung:

  • 3 VW´s und 2 Volvos in 5 Parklücken (n=5, k1=3, k2=2)
  • Reihenfolge beim ziehen von 4 roten und 2 blauen Kugeln (n=6, k1=4, k2=2)
Ihr möchtet eine neue Flage mit Streifen entwerfen, dazu wollt ihr 6 Streifen machen, davon sollen 3 rot und 3 weiß sein. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Einblenden


2. Auswahlen:

2.1 Unter Betrachtung der Reihenfolge

Unter Betrachtung der Reihenfolge versteht man, dass es auch wichtig ist, welches Ereignis, wann eingetreten ist.

Anzahl der Ereignisse ohne "zurücklegen" bzw. Mehrfachauswahl

Sollt ihr die Anzahl an möglichen Ereignissen berechnen, wobei man nicht "zurücklegt" also ein Ereignis nicht doppelt vorkommen darf, könnt ihr euch das immer als Anordnungsproblem vorstellen, also wie viele Möglichkeiten gibt es diese Kombinationen anzuordnen, dann macht man das so:

  1. Nehmt wieder die Fakultät der gesamten Anzahl an Objekten, die zur Auswahl stehen
  2. Das teilt ihr dann durch die Fakultät der Anzahl an Objekten, die übrig bleiben, also nicht ausgesucht werden. Sucht man also zum Beispiel 3 aus 5 Kugeln aus teilt man durch 2!, da ja 2 Kugeln übrig bleiben.

Allgemein also (n ist die Anzahl der Kugeln insgesamt und k die Anzahl an ausgesuchten Kugeln):

Beispiele der Anwendung:

  • 3 aus 5 Kugeln ziehen, wobei wichtig ist welche zuerst und welche zuletzt gezogen wird. Es macht also einen unterschied, ob erst z.B. eine blaue Kugel gezogen wurde und dann die rote oder umgekehrt, dass sind dann unter Betrachtung der Reihenfolge 2 verschiedene Ergebnisse.
Ihr zieht aus einer Urne mit 4 Kugeln, welche alle verschiedene Farben haben, 2 Kugeln ohne diese zurückzulegen. Dabei ist wichtig, welche Kugel als erstes und welche als zweites gezogen wurde, das macht für euch einen Unterschied (z.B. wenn erst rot und dann blau gezogen wird, ist für euch ein anderes Ergebnis, als wenn erst blau und dann rot gezogen wird) Einblenden

Anzahl der Ereignisse mit "zurücklegen" bzw. Mehrfachauswahl

Sollt ihr die Anzahl an Möglichkeiten ausrechnen, wenn man aus Objekten welche aussuchen muss, aber auch Objekte mehrfach aussuchen kann (z.B. nach jedem Ziehen die Kugel wieder zurück in den Lostopf), wobei die Reihenfolge auch wichtig ist, dann macht ihr das, indem ihr einfach die Anzahl der gesamten Objekte hoch die Anzahl nimmt, die man aussucht.

(n ist die Anzahl der Elemente (oder Möglichkeiten) und k die Anzahl an "Ziehungen")

 

nk

Beispiele der Anwendung:

  • Zahlenschloss mit 3 Einstellungsstellen (3 Ringe an denen man die Zahl hin dreht) und je 10 Zahlen. (n=10 und k=3). Ihr könnt ja an jeder Stelle des Schlosses noch mal z.B. die 9 einstellen, daher mit Mehrfachauswahl.
  • Eine Binärzahl kennt 2 Zustände (0 und 1). Mit einer Reihenfolge von 10 Zahlen können 2 hoch 10 verschiedene Variationen entstehen. (n=2 und n=10)
Ihr möchtet das Passwort eines Handys knacken, welches 4 Stellen hat und nur aus Zahlen besteht, also gibt es pro Stelle des Passworts 10 Möglichkeiten (0,1,2,3...9). Wie viele Kombinationen gibt es? Einblenden


2.2 Ohne Betrachtung der Reihenfolge

Ohne Betrachtung der Reihenfolge bedeutet es ist egal, ob erst die eine Kugel und dann die andere gezogen wurde oder umgekehrt. Da sind beide Ereignisse gleichbedeutend. Die folgenden Berechnungen sind ohne Betrachtung der Reihenfolge:

Anzahl der Ereignisse ohne "zurücklegen" bzw. Mehrfachauswahl

(zum Thema Binomialkoeffizienten geht´s HIER) Sollt ihr die Anzahl an möglichen Ereignissen berechnen, wobei man nicht "zurücklegt", also ein Ereignis nicht doppelt vorkommen darf, (ihr berechnet also, wie viele mögliche Kombinationen es gibt) ohne Betrachtung der Reihenfolge, macht ihr das so (n ist die Anzahl der Elemente und k die Anzahl an Auswahlen):

Anwendungsbeispiel:

  • Lotto 6 aus 49, also man zieht 6 Kugeln aus 49, dabei ist die Reihenfolge ja egal, ob erst die 3 gezogen wird oder zuletzt, macht ja keinen Unterschied. (n=49 und k=6)
  • Mehrfachwurf einer Münze, wobei die Anzahl an Möglichkeiten berechnet werden soll, wenn beispielsweise 2 mal Kopf vorkommen soll. (n=Anzahl an Würfen und k=Anzahl an Kopf Würfen)
Ihr spielt Lotto und möchtet wissen, wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 aus 49 Zahlen auszuwählen. Einblenden

Anzahl der Ereignisse mit "zurücklegen" bzw. Mehrfachauswahl

Die Anzahl der möglichen Ereignisse, wobei wieder "zurücklegt" bzw. die Ergebnisse mehrfach vorkommen dürfen, ohne Betrachtung der Reihenfolge. Die Berechnung sieht so aus (n ist die Anzahl der Kugeln insgesamt und k die Anzahl der Kugeln die man aussucht):

 

Anwendungsbeispiel:

  • 4 Kugeln werden aus einem Topf von 6 Kugeln gezogen, dabei wird nach jedem mal die Kugel gleich wieder zurückgelegt.
Ihr zieht 3 Kugeln aus einer Urne mit 6 verschiedenen Kugeln. Dabei wird jede gezogene Kugel direkt wieder zurückgelegt. Die Reihenfolge in der die Kugeln gezogen werden ist egal (also ist z.B. erst blau dann rot das selbe, wie erst rot dann blau). Einblenden

Rechner

Hier könnt ihr euch die Anzahlen berechnen (falls nicht angezeigt liegt es an Adblocker):

unordered=ohne betrachtung der Reihenfolge

ordered= unter betrachtung der Reihenfolge

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