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Was hat die Größe von Papier mit Mathe zu tun?

Warum ist das DIN A4 Papier so groß, wie es ist? Und was hat das mit Mathe zu tun? Das Verhältnis der Seitenlängen von Papierblättern wurde speziell so gewählt, dass wenn ein Stück Papier halbiert wird, das Seitenverhältnis genau gleich bleibt. Deshalb sind die Größen alles Andere als zufällig. Um diese Eigenschaft zu gewährleisten muss das Papier ein ganz bestimmtes und ausergewöhnliches Seitenverhältnis haben, es gibt nämlich nur ein Seitenverhältnis, welches das gewährleistet. Dank Mathematik kann man dieses Seitenverhältnis genau bestimmen.

Die Papiergrößen wurden in den DIN-Norm festgelegt, dabei wurden die Größen so gewählt, dass wenn ein Blatt Papier in der Mitte geteilt wird, zwei neue Stücke entstehen, welche dasselbe Seitenverhältnis haben. Das nennt man dann in der Geometrie Ähnlichkeit (mehr zum Thema Ähnlichkeit HIER). Nur wie bestimmt man die Seitenverhältnisse so, dass wenn man sie in der Mitte teilt, genau wieder dasselbe Seitenverhältnis rauskommt? Na ja dazu braucht man die Mathematik!

 

Man kann das Seitenverhältnis schließlich nicht beliebig wählen, denn wenn man ein Quadrat auswählt, bei welchem das Seitenverhältnis 1:1 ist, also alle Seiten gleich groß, würde man beim Teilen dieses Papierstücks zwei neue Stücke mit einem Verhältnis von 1:2 erhalten. Um jetzt das ideale Verhältnis zu bestimmen, damit dieses immer Gleich bleibt, muss man eine Gleichung lösen, nämlich diese:

  • a und b sind die Seitenlängen des Papiers welches dann geteilt wird
  • c und d sind die Seitenlängen des Papiers, welches rauskommt, wenn man das andere Papier in der Mitte teilt
  • Dieses Verhältniss muss gleich bleiben, daher diese Gleichung

Da beim Teilen eines Papiers eine Seitenlänge gleich lang bleibt und die Andere genau halbiert wird, kann man diese Informationen in die Formel einsetzen, sodass man diese nach einer Seitenlänge auflösen kann, so erhaltet ihr folgendes (Achtung: b ist jetzt oben, da diese beim halbierten Blatt die längere Seite ist!):

Wie ihr jetzt seht, muss das Verhältnis des Papiers so sein, dass die kleinere Seite so groß ist, wie die andere Seitenlänge mal Wurzel 2, also ist das Verhältnis 1:√2. Jetzt wisst ihr auch, wieso die Seitenlängen so krumme Zahlen sind, denn √2=1,414213562...., es ist nämlich eine unendlich-nichtperiodische reelle Zahl.

 

Seitenverhältnis: 1:√2

 

Nur bei diesem Seitenverhältnis entstehehen zwei ähnliche Papierstücke mit dem selben Seitenverhältnis, wie das große Stück davor, wenn man dieses in der Mitte teilt.

Wie ist man jetzt aber genau auf diese DIN A -Formate gekommen?

Das wurde recht simpel festgelegt, man hat schlichtweg gesagt, dass das DIN A0 Papier genau 1m2 groß sein soll. Dazu hat man dann, mit einer ähnlichen Formel wie oben, die richtigen Seitenlängen bestimmt, man kennt ja schon das Seitenverhältnis. Dann wurden die Papiergrößen immer in der Mitte geteilt, also ist das DIN A1 Format 0,5m2 groß, das DIN A2 Format 0,25m2 usw. so hatt man dann alle Papiergrößen festgelegt. Deshalb sind die Seitenlängen der Papiergrößen so komisch. Hier eine Übersicht der Papiergrößen:

Format Seitenlängen Größe (als Fläche)
 DIN A0  0,840896m x 1,189207m 1,000000 m2
DIN A1 0,594604m x 0,840896m 0,500000 m2
DIN A2 0,420448m x 0,594604m 0,250000 m2
DIN A3 0,297302m x 0,420448m 0,125000 m2
DIN A4 0,210224m x 0,297302m 0,062500 m2
DIN A5 0,148651m x 0,210224 m 0,031250 m2

Wie ihr seht, ist immer eine Seitenlänge bei zwei aufeinanderfolgenden DIN Formaten gleich, das liegt daran, dass das vorherige in der Mitte geteilt wurde, um das neue zu erhalten, so bleibt immer eine Seite gleich lang.

Hier seht ihr das Schema, wie es Funktioniert, immer in der Mitte teilen und man erhält das nächste DIN A Format: