Gleichungssysteme lösen

Gleichungssysteme sind mehrere Gleichungen mit mehreren Variablen bzw. Unbekannten, z.B. 2 oder 3 Stück. Man braucht mindestens genauso viele Gleichungen wie Variablen, damit man diese dann lösen kann.

Um Gleichungssysteme zu lösen, könnt ihr verschiedene Verfahren verwenden, hier sind alle zusammengefasst und erklärt:

Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren wird eine Variable durch Addition oder Subtraktion eliminiert, wodurch nur noch eine übrig bleibt. Schritt für Schritt geht ihr so vor:

  1. Guckt, welche der Gleichungen ihr mit einer Zahl multiplizieren müsst, sodass der Faktor vor einer Variablen in beiden Gleichungen gleich ist.
  2. Danach addiert oder subtrahiert ihr beide Gleichungen miteinander/voneinander, sodass eine Variable wegfällt.
  3. Danach löst ihr die Gleichung nach der verbleibenden Variablen auf, so habt ihr für diese schon die Lösung.
  4. Setzt in eine der beiden Gleichungen vom Beginn die Variable ein, die ihr im vorherigen Schritt berechnet habt, und löst nach der verbleibenden auf.

Beispiel Schritt für Schritt

Gleichungssystem welches mit dem Additionsverfahren gelöst werden kann
  • Gegeben sind diese beiden Gleichungen. 

Erster Schritt für das Lösen eines Gleichungssystems mithilfe des Additionsverfahrens
  • Nehmt die I. Gleichung mal 2, sodass in beiden Gleichungen derselbe Faktor vor dem y steht (die 4). Übrigens ist es egal welchen Faktor vor einer Variable ihr gleich macht, sucht euch das einfachste raus. 

Zweiter Schritt zum lösen eines linearen Gleichungssystems mithilfe des Additionsverfahrens
  • Nehmt die II. Gleichung minus die I., sodass y wegfällt. Löst dann nach x auf (hier nicht mehr nötig, da x bereits alleine auf einer Seite ist).

Berechnung der zweiten Variable beim Lösen eines Gleichungssystems
  • Setzt nun das Ergebnis, welches ihr für x erhalten habt, in eine der beiden Gleichungen vom Beginn ein, dann könnt ihr leicht y ausrechnen. Dann seid ihr schon fertig.

Das Ergebnis für dieses Gleichungssystem sind dann: x=2 und y=3. 

Weitere Beispiele

Hier sind Aufgaben, die ihr Lösen, oder einfach angucken könnt. Klickt auf einblenden, um die Lösung zu sehen. 

1. 2x+3y=5

2. 5x+6y=11

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1. 5x-2y=11

2. 4x+2y=16

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Einsetzverfahren

Beim Einsetzverfahren eliminiert ihr eine Variable durch Einsetzen:

  1. Löst eine der Gleichungen nach einer Variablen auf (egal ob x oder y). Tipp: Am besten löst ihr nach einer Variablen auf, welche keinen Vorfaktor hat (oder eine 1 als Vorfaktor). 
  2. Setzt das Ergebnis für die Variable, nach der ihr aufgelöst habt, in die 2. Gleichung ein.
  3. Jetzt habt ihr eine Variable weniger und könnt nach der anderen auflösen. So erhaltet ihr den Wert für diese Variable.
  4. Setzt den Wert dieser Variable, welchen ihr jetzt kennt, in eine der beiden Gleichungen vom Anfang ein und löst nach der anderen Variable auf. So erhaltet ihr auch den Wert für diese.   

 

Beispiel Schritt für Schritt

Gleichungssystem welches mithilfe des Einsetzverfahrens gelöst werden kann
  • Es sind diese Zwei Gleichungen gegeben. 

Erster Schritt zum lösen eines Gleichungssystems mithilfe des Einsetzverfahrens
  • Löst eine der Gleichungen nach einer Variablen auf. Hier wird Gleichung II. nach y aufgelöst. 

Zweiter Schritt, nämlich das Einsetzen, beim Lösen eines Gleichungssystems mithilfe des Einsetzverfahrens
  • Setzt dieses Ergebnis in die andere Gleichung (hier in Gleichung I.) für die Unbekannte ein, also für y (1-2x) einsetzen. Vorsicht Klammern nicht vergessen! 

Dritter Schritt zum lösen eines Gleichungssystems mithilfe des Einsetzverfahrens
  • Formt dieses Ergebnis nach x um. Jetzt wisst ihr die Lösung für x.

Berechnung der zweiten Variable eines Gleichungssystems
  • Setzt x in eine der beiden Gleichungen vom Anfang ein und löst nach y auf, so erhaltet ihr den Wert für y. Hier wurde y in die I. Gleichung eingesetzt. 

Das Ergebnis für dieses Gleichungssystem ist dann: x=-3 und y=7 

Weitere Beispiele

Hier sind Aufgaben, die ihr Lösen, oder einfach angucken könnt. Klickt auf einblenden, um die Lösung zu sehen. 

1. x-2y=3

2. 4x+2y=22

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1. 5x-y=7

2. 3x+2y=12

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Gleichsetzverfahren

Beim Gleichsetzverfahren eliminiert ihr eine Variable durch Gleichsetzen:

  1. Löst 2 Gleichungen nach derselben Variablen auf 
  2. Setzt die Gleichungen gleich, also die eine = die Andere.
  3. Löst nach der verbleibenden Variablen auf, so erhaltet ihr ihren Wert.
  4. Setzt den Wert der Variablen, welche ihr jetzt schon kennt, in eine der beiden Gleichungen vom Anfang ein und ihr habt auch die Lösung für die 2. Variable.

 

Beispiel

Gleichungssystem welches mithilfe des Gleichsetzverfahrens gelöst werden kann
  • Ihr habt diese beiden Gleichungen gegeben. 

Erster Schritt des Gleichsetzverfahrens, nämlich das Gleichsetzen der Gleichungen
  • Da beide Gleichungen bereits nach derselben Variablen aufgelöst sind, kann man direkt gleichsetzten. Also setzt beide Gleichungen rechts von y gleich.

Berechnung der ersten Variable des Gleichungssystmes mithilfe des Gleichsetzverfahrens
  • Löst jetzt nach x auf.

Berechnung der zweiten Variable des Gleichungssystems
  • Setzt den Wert für x in eine der beiden Gleichungen von oben ein, um y zu erhalten. 

Die Lösung für dieses Gleichungssystem ist also: x=-1 und y=-1 

Weitere Beispiele

Hier sind Aufgaben, die ihr Lösen, oder einfach angucken könnt. Klickt auf einblenden, um die Lösung zu sehen. 

1. y=3x+6

2. y=-2x-4

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1. y=5x+7

2. y=3x+6

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Gleichungslöser (Rechner):

Hier sind Rechner, mit denen ihr eure Gleichungssysteme mit 2 oder 3 unbekannten lösen lassen könnt:


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