Gleichungssysteme lösen

Gleichungssysteme sind mehrere Gleichungen mit mehreren Variablen, bzw. Unbekannten, z.B. 2 oder 3 Stück. Man braucht mindestens genauso viele Gleichungen wie Variablen, damit man diese dann lösen kann.

Um Gleichungssysteme zu lösen, könnt ihr verschiedene Verfahren verwenden, hier sind alle zusammengefasst und erklärt:

Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren geht es darum, eine Variable durch Addition oder Subtraktion zu eliminieren. Da geht ihr so vor:

  1. Guckt, welche Variable ihr eliminieren wollt und multipliziert die Gleichung so mit einer Zahl, sodass dieselbe Variable in beiden Gleichungen denselben Vorfaktor hat. (im Beispiel unten y -> daher 1. Gleichung mal 2, damit auch 4y da steht.)
  2. Danach addiert oder subtrahiert ihr beide Gleichungen miteinander, sodass eine Variable wegfällt.
  3. Danach löst ihr die Gleichung nach der verbleibenden Variablen auf, so habt ihr für diese schon die Lösung
  4. Setzt dann nur noch in eine der beiden Gleichungen die Variable ein und löst nach dieser auf, so habt ihr auch diese.

 

Beispiel Schritt für Schritt

1.  3x+2y=5

2.  5x+4y=3

  • Wenn ihr dieses Gleichungssystem lösen möchtet, geht ihr so vor:

1. Gleichung mal 2 nehmen:

-> 6x+4y=10

  • Versucht eine der beiden Gleichungen mit einer Zahl so mal zu nehmen, dass die Zahl vor irgendeiner Variablen in beiden Gleichungen gleich wird. Hier könnt ihr die 1. Gleichung mal 2 nehmen, dann ist in beiden Gleichungen 4y.

1. Gleichung minus 2. Gleichung:

6x+4y-(5x+4y)=10-3

-> x=7

  • Nachdem ihr das gemacht habt, könnt ihr die 1. Gleichung minus die 2. Gleichung rechnen, denn dadurch, dass in beiden 4y steht, fällt dieses weg und es bleibt 1x und 7 übrig, so wisst ihr, was für x rauskommt, da es nur noch eine Variable gibt, so könnt ihr es leicht umstellen und ausrechnen.

5·7+4y=3   |-35

4y=-32

y=-8

  • Setzt nun das Ergebnis, welches ihr für x erhalten habt, in eine der beiden Gleichungen vom Beginn ein, dann könnt ihr leicht y ausrechnen. Dann seid ihr schon fertig.

Übungsaufgaben / Beispiele

Hier sind Aufgaben, die ihr Lösen, oder einfach angucken könnt. Klickt auf einblenden, um die Lösung zu sehen. 

1. 2x+3y=5

2. 5x+6y=11

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1. 5x-2y=11

2. 4x+2y=16

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Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren eliminiert ihr eine Variable durch einsetzen:

  1. Löst eine der Gleichungen nach einer Variablen auf (egal ob x oder y)
  2. Setzt das Ergebnis für die Variable, nach der ihr aufgelöst habt, in die 2. Gleichung ein.
  3. Jetzt habt ihr eine Variable weniger und könnt nach der übrigen Variablen auflösen und habt das Ergebnis, dieses setzt ihr wieder in eine der Gleichungen ein und erhaltet die andere Variable
  4. Solltet ihr mehrere Variablen haben, macht ihr einfach dasselbe mit den anderen Gleichungen, also löst bei einer anderen Gleichung nach einer anderen Variablen auf und setzt diese auch ein usw., bis ihr das Ergebnis habt.

 

Beispiel Schritt für Schritt

  • Wenn ihr dieses Geichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren lösen möchtet, geht ihr so vor:

  • Zunächst müsst ihr eine Gleichung nach einer Variablen auflösen (egal welche Gleichung nach welcher Variablen, versucht aber möglichst die leichteste Möglichkeit zu wählen)

  • Wenn ihr das gemacht habt, müsst ihr diese Gleichung, für die Variable nach der ihr ausgesucht habt, in die andere Gleichung einsetzen. Also hier setzt ihr für y die Gleichung von darüber ein, welche ihr ausgerechnet habt.


  • Jetzt müsst ihr nur noch die Variable, die ihr nun kennt, in eine der Gleichungen einsetzten und dann kennt ihr auch die andere Variable.

Übungsaufgaben / Beispiele

Hier sind Aufgaben, die ihr Lösen, oder einfach angucken könnt. Klickt auf einblenden, um die Lösung zu sehen. 

1. x-2y=3

2. 4x+2y=22

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1. 5x-y=7

2. 3x+2y=12

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Gleichsetzungsverfahren

Beim Gleichsetzungsverfahren elemeniert ihr eine Variable durch Gleichsetzen:

  1. Löst 2 Gleichungen nach derselben Variablen auf
  2. setzt die Gleichungen gleich, also die eine = die andere.
  3. Löst nach der verbleibenden Variablen auf und ihr habt die Lösung

 

Beispiel

Wenn ihr diese Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren lösen möchtet, geht ihr so vor:


Habt ihr so eine Gleichung, könnt ihr sie einfach gleichsetzen. Dann löst ihr nach x auf und...


....setzt dieses dann in eine der Gleichungen ein und erhaltet so das y.


Übungsaufgaben / Beispiele

Hier sind Aufgaben, die ihr Lösen, oder einfach angucken könnt. Klickt auf einblenden, um die Lösung zu sehen. 

1. y=3x+6

2. y=-2x-4

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1. y=5x+7

2. y=3x+6

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Gleichungslöser (Rechner):

Hier sind Rechner, mit denen ihr eure Gleichungssysteme mit 2 oder 3 unbekannten lösen lassen könnt:


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